Control Theory 1 · Al Neelain University · 4th year

نظرية التحكم
ورقة الليلة الأخيرة

كل ما تحتاجه: الفكرة بلغة بسيطة، القوانين التي تُستعمل فعلاً، ثم حل امتحان 2025/9/18 سؤالاً سؤالاً. اقرأ بالترتيب، ولا تقفز.

0:00 – 0:25الأقسام 1 إلى 5: الفكرة، لابلاس، دالة التحويل، المخططات
0:25 – 0:50الأقسام 6 إلى 8: الرتبة الأولى والثانية والاستقرار
0:50 – 1:30حل الامتحان كاملاً (جرّب قبل أن تكشف)
آخر 10 دقائقبطاقة القوانين في نهاية الصفحة فقط

01ما هو نظام التحكم أصلاً؟

تخيّل سخّان ماء. تريد الماء عند 60 درجة. أمامك طريقتان:

الطريقة الأولى (بلا عين): تشغّل السخّان 10 دقائق ثم تطفئه، لأن التجربة علّمتك أن 10 دقائق تكفي. أنت هنا لا تقيس شيئاً. لو كان الماء بارداً جداً اليوم، ستفشل ولن تعرف. هذا هو Open loop — النظام المفتوح: فعل التحكم لا يعتمد على الخرج.

الطريقة الثانية (بعين): تضع ترمومتر في الماء، تقارن القراءة بـ60، والفرق بينهما يقرّر: أكمل التسخين أم أطفئ. هذا هو Closed loop — النظام المغلق: فعل التحكم يعتمد على الخرج المطلوب.

e(t) = r(t) − y(t)هذا هو قلب التحكم كله: الخطأ = المطلوب − الحاصل. الدائرة التي تحسب هذا الفرق اسمها error detector أو summing point.

المفردات التي ستُسأل عنها حرفياً

المصطلحالمعنى بلغتك
Plant / Processالشيء المراد التحكم فيه (السخّان، المحرك، الفرن)
Controlled variableالكمية التي تُقاس ويُتحكم فيها = الخرج (الحرارة)
Manipulated variableالإشارة التي يرسلها المتحكم إلى الـplant (التيار للسخّان)
Disturbanceإزعاج خارجي يفسد الخرج (نافذة مفتوحة تبرّد الغرفة)
Feedbackخط يعيد الخرج إلى المدخل ليُقارَن بالمطلوب

ثلاثة تصنيفات تُسأل كسؤال تعاريف

فخ متكرر: «إشارات المرور» في محاضرتك مثال على Open loop، لأنها تعمل بالزمن ولا تقيس عدد السيارات فعلياً.

التغذية الراجعة: موجبة وسالبة

Negative: T = G / (1 + GH) Positive: T = G / (1 − GH)G = المكسب في مسار الذهاب (forward)، H = مكسب مسار الرجوع (feedback). الفرق كله في إشارة واحدة.

السالبة هي المستعملة عملياً لأنها تقلّل الخطأ. الموجبة تُكبّر الإشارة وتؤدي غالباً إلى انفجار الخرج.

إذا كانت H = 1 نسمّي النظام unity feedback، وتصبح T = G/(1+G). احفظها، ستستعملها كثيراً.

02لابلاس: الحيلة التي تجعل كل شيء سهلاً

مشكلة الهندسة: الأنظمة تُوصف بـمعادلات تفاضلية (فيها مشتقات وتكاملات)، وحلّها متعب. الحل: نأخذ المعادلة كلها إلى «عالَم آخر» اسمه عالَم s، فتتحول المشتقات إلى ضرب والتكاملات إلى قسمة، فنحلّ بالجبر البسيط، ثم نرجع.

L[f(t)] = ∫₀^∞ f(t)·e^(−st) dt = F(s)s عدد مركّب: s = σ ± jω. لن تحسب هذا التكامل في الامتحان — ستستعمل الجدول.
القاعدة الذهبية: d/dt → ضرب في s  ·  ∫dt → قسمة على s  (بشرط أن تكون الشروط الابتدائية = صفر).
مثال: y″ + 3y′ + 4y = u′ + 3u تصبح فوراً (s²+3s+4)Y(s) = (s+3)U(s).

الجدول — احفظ العشرة أسطر

f(t)F(s)ملاحظة
δ(t)1نبضة impulse
1 (u(t))1/sدرجة step
t1/s²منحدر ramp
t²/21/s³قطع مكافئ parabolic
tⁿn!/s^(n+1)
e^(−at)1/(s+a)الأهم
1 − e^(−at)a/[s(s+a)]استجابة الرتبة الأولى
sin ωtω/(s²+ω²)
cos ωts/(s²+ω²)
e^(−at) sin ωtω/[(s+a)²+ω²]تذبذب متلاشٍ

الإشارات الاختبارية الأربع

لماذا نختبر بها؟ لأنها بسيطة ومعروفة، فإذا عرفنا رد النظام عليها عرفنا طبيعته.

الكسور الجزئية — طريق العودة إلى الزمن

بعد أن تحصل على C(s)، تفكّكه إلى كسور بسيطة موجودة في الجدول ثم ترجع. الأشكال الأربعة من محاضرتك:

K/[s(s+a)] = A/s + B/(s+a) K/[s²(s+a)] = A/s + B/s² + C/(s+a) K/[s(s+d)(s+e)] = A/s + B/(s+d) + C/(s+e) (b² > 4ac) K/[s(as²+bs+c)] = A/s + (Bs+C)/[(s+α)² + ω²] (b² < 4ac) الحالة الأخيرة (جذور مركّبة) تُكمَّل مربعاً ثم تُقرأ كـ sin/cos متلاشية.

03دالة التحويل، الأقطاب والأصفار

التعريف الذي يُسأل حرفياً: دالة التحويل هي نسبة تحويل لابلاس للخرج إلى تحويل لابلاس للدخل، لنظام خطي ثابت مع الزمن (LTI)، بفرض أن جميع الشروط الابتدائية تساوي صفراً.
G(s) = C(s)/R(s) = K(s+z₁)(s+z₂)… / (s+p₁)(s+p₂)…z = zeros أصفار البسط  |  p = poles أقطاب المقام

خمس خصائص لدالة التحويل (سؤال نظري جاهز)

  1. نموذج رياضي يعبّر عن المعادلة التفاضلية الرابطة بين الدخل والخرج.
  2. خاصية للنظام نفسه، مستقلة عن مقدار الدخل ونوعه.
  3. تتضمن الوحدات، لكنها لا تصف التركيب الفيزيائي — نظامان مختلفان تماماً قد تكون لهما نفس الدالة.
  4. إذا عُرفت، أمكن دراسة الخرج لأي دخل.
  5. إذا كانت مجهولة، يمكن إيجادها تجريبياً بإدخال إشارات معلومة وقياس الخرج.

النمذجة: من الدائرة إلى الدالة

دائرة LRC (من محاضرتك): L·di/dt + Ri + (1/C)∫i dt = eᵢ و (1/C)∫i dt = e₀

E₀(s)/Eᵢ(s) = 1 / (LCs² + RCs + 1)

نظام ميكانيكي (كتلة m، مخمد b، نابض k، قوة u، إزاحة y):

m·ÿ + b·ẏ + k·y = u → Y(s)/U(s) = 1/(ms² + bs + k)

Forced و Natural response

مثال المحاضرة: G(s) = (s+2)/(s+5) مع دخل درجة 1/s:

C(s) = (2/5)/s + (3/5)/(s+5) → c(t) = 2/5 + (3/5)e^(−5t)الجزء الآتي من قطب الدخل (2/5) = forced response (يبقى). والآتي من قطب النظام = natural response (يتلاشى).

04جبر المخططات الصندوقية

ثلاث وصلات فقط، احفظها وستحلّ أي مخطط:

الوصلةالنتيجةالقاعدة بلغتك
Series (cascade) — الخرج يدخل التاليG₁·G₂اضرب
Parallel — نفس الدخل يدخل الاثنين ويُجمع خرجهماG₁ ± G₂اجمع (أو اطرح حسب الإشارة)
Feedback — الخرج يعود للمدخل عبر HG / (1 ∓ GH)سالبة → +GH، موجبة → −GH
القاعدة الأهم في الامتحان كله: T = (مسار الذهاب) / (1 + مكسب الحلقة)«مكسب الحلقة» = حاصل ضرب كل ما تمر به الإشارة وهي تدور دورة كاملة. للتغذية السالبة نضع + في المقام.

قواعد التبسيط الست

  1. ابحث عن الصناديق المتسلسلة واضربها.
  2. ابحث عن المتوازية واجمعها.
  3. ابحث عن حلقة تغذية راجعة وبسّطها بالقانون.
  4. إذا أعاقتك نقطة تفرّع (take-off point) — حرّكها يميناً.
  5. إذا أعاقتك نقطة جمع (summing point) — حرّكها يساراً.
  6. كرّر حتى يبقى صندوق واحد.

عند تحريك نقطة تفرّع للأمام عبر صندوق G، عوّض بإضافة 1/G على الفرع لتحافظ على نفس الإشارة. وعند تحريكها للخلف، أضف G.

مثال المحاضرة الكامل

المخطط ذو G₁…G₅, H₁,H₂,H₃ انتهى إلى:

Y/R = G₁G₂G₅²(G₃+G₄) / { (1+G₁G₂H₁)[1+(G₃+G₄)G₅H₃]G₅ − G₁G₂G₅(G₃+G₄)H₂ }

لاحظ الترتيب: أولاً G₁G₂ متسلسلة، ثم G₃+G₄ متوازية، ثم الحلقات الداخلية، ثم الحلقة الخارجية.

05نظام الرتبة الأولى

C(s)/R(s) = 1 / (sT + 1)T = ثابت الزمن (time constant) بالثواني. القطب عند s = −1/T.
الدخلc(t)الشرح
Impulse(1/T)·e^(−t/T)يقفز ثم يتلاشى
Step1 − e^(−t/T)يصعد بنعومة إلى 1، بلا تجاوز
Ramp(t − T) + T·e^(−t/T)يلاحق الدخل بتأخر ثابت = T

في استجابة الـstep: عند t = T يكون الخرج قد بلغ 63.2%، وعند t = 4T بلغ 98% ≈ استقر. لذلك نقول عملياً إن الاستجابة تنتهي بعد 4 إلى 5 أضعاف ثابت الزمن.

في استجابة الـramp، الجزء الباقي c_ss = (t − T)u(t) والجزء المتلاشي c_tr = T·e^(−t/T)u(t) — أي أن خطأ الحالة المستقرة = T.

Transient و Steady state: كل استجابة = جزء عابر يتلاشى (يعتمد على النظام فقط) + جزء مستقر يبقى (يعتمد على النظام والدخل معاً).

06نظام الرتبة الثانية — قلب المادة

C(s)/R(s) = ωₙ² / (s² + 2ζωₙ·s + ωₙ²)محاضرتك تكتب معامل التخميد أحياناً δ وأحياناً ξ — كلها نفس الشيء: ζ (zeta).

معنى الرمزين بلغة بسيطة:

استخراجهما من أي معادلة

قارن مقامك بالصيغة القياسية مباشرة:

s² + 8s + 12 → ωₙ² = 12 → ωₙ = √12 = 3.46 2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·3.46) = 1.15 > 1 → over-damped

الحالات الأربع (سؤال شبه مؤكد)

ζالاسمالجذورالشكل
ζ = 0Un-dampedتخيّليان بحتان ±jωₙتذبذب دائم لا يتوقف
0 < ζ < 1Under-dampedمركّبان مترافقانيتجاوز الهدف ثم يتذبذب ويستقر
ζ = 1Critically dampedحقيقيان متساويانأسرع وصول بلا تجاوز
ζ > 1Over-dampedحقيقيان مختلفانبطيء وكسول، بلا تجاوز

جرّبها بيدك: حرّك معامل التخميد

هذا هو رد النظام على دخل step. راقب كيف يتغير الشكل والأرقام معاً — إن فهمت هذه الصورة فهمت القسم التالي كله.

—الحالة
—%OS تجاوز
—t_p ثانية
—t_s (2%)
—t_r ثانية
—ω_d

الاستجابة الزمنية للـstep عند 0 < ζ < 1

c(t) = 1 − [e^(−ζωₙt)/√(1−ζ²)]·sin(ω_d·t + θ) ω_d = ωₙ√(1−ζ²) θ = cos⁻¹(ζ)ω_d = damped frequency، تردد التذبذب الفعلي. σ = ζωₙ = سرعة التلاشي.

استجابة الـimpulse (جدول محاضرتك)

ζc(t) لـ t ≥ 0
ζ = 0ωₙ sin(ωₙt)
ζ = 1ωₙ² t e^(−ωₙt)
0<ζ<1[ωₙ e^(−ζωₙt)/√(1−ζ²)] sin(ω_d t)
ζ > 1[ωₙ/(2√(ζ²−1))]·(e^(−(ζωₙ−ωₙ√(ζ²−1))t) − e^(−(ζωₙ+ωₙ√(ζ²−1))t))
اختصار: استجابة الـimpulse = مشتقة استجابة الـstep. لا تحفظ الجدول مرتين.

07مواصفات الاستجابة الزمنية

كلها تُعرَّف على استجابة الـunit step لنظام under-damped. احفظ التعريف والقانون معاً:

المواصفةالتعريف بلغتكالقانون
Delay time t_dالزمن للوصول إلى نصف القيمة النهائية (50%)t_d = (1 + 0.7ζ)/ωₙ
Rise time t_rالزمن للصعود من 10% إلى 90% (أو 0→100% للـunder-damped)t_r = (π − θ)/ω_d
Peak time t_pزمن الوصول إلى أول قمةt_p = π/ω_d
Max overshoot M_pمقدار تجاوز القمة فوق القيمة النهائية، كنسبة مئوية%M_p = e^(−ζπ/√(1−ζ²)) × 100
Settling time t_sالزمن ليدخل ويبقى داخل شريط ±2% (أو ±5%)t_s = 4/(ζωₙ) للـ2%
t_s = 3/(ζωₙ) للـ5%
انتبه: ζωₙ = σ = الجزء الحقيقي للقطب (بلا إشارة). فيمكنك كتابة t_s = 4/σ وt_s = 3/σ مباشرة من موقع القطب. وكذلك θ = tan⁻¹(ω_d/σ).

مثال محاضرتك المحلول (ζ=0.6، ωₙ=5)

σ = ζωₙ = 3، ω_d = 5√(1−0.36) = 4، β = tan⁻¹(4/3) = 0.93 rad

t_r = (3.14 − 0.93)/4 = 0.55 s t_p = 3.14/4 = 0.785 s M_p = e^(−(3/4)×3.14) = 0.095 → 9.5% t_s = 4/3 = 1.33 s (2%) t_s = 3/3 = 1 s (5%)

خريطة الأقطاب: كيف يقرأ المهندس اللوحة؟

اكتب القطب هكذا: s = −σ ± jω_d. ثم:

مثال محاضرتك: قطب عند −3 ± j7 → ωₙ = √(9+49) = 7.616، ζ = 3/7.616 = 0.394، %OS = 26%، t_p = π/7 = 0.449 s، t_s = 4/3 = 1.33 s.

08الاستقرار ومعيار راوث-هورڤيتز

القاعدة الوحيدة التي تحتاجها: النظام مستقر إذا كانت كل أقطاب الحلقة المغلقة في النصف الأيسر من مستوى s (أي أجزاؤها الحقيقية سالبة).
الحالةالاستجابة الطبيعية مع الزمنالأقطاب
Stableتؤول إلى الصفركلها في النصف الأيسر
Unstableتكبر بلا حدودقطب واحد على الأقل في النصف الأيمن
Marginally stableلا تتلاشى ولا تكبر — تبقى ذبذبة ثابتةأقطاب على محور jω

تعريف آخر مكافئ: BIBO — نظام مستقر إذا كان كل دخل محدود يعطي خرجاً محدوداً.

لماذا راوث؟

لأنه يخبرك بعدد الأقطاب في النصف الأيمن دون أن تحلّ المعادلة. وهذا ذهب في امتحان مدته ساعة.

الخطوات

  1. اكتب المعادلة المميزة: مقام الحلقة المغلقة = 0. (لنظام unity feedback: 1 + G(s) = 0.)
  2. صف المعاملات في صفين: الصف الأول قوى s الزوجية من الأعلى، والثاني الفردية.
  3. احسب بقية الصفوف بالمحدد: b₁ = −(1/a₃)·det[[a₄,a₂],[a₃,a₁]] — أي: (حاصل ضرب القطر الرئيسي مطروحاً منه القطر الآخر) مقسوماً على أول عنصر في الصف الذي فوق، مع إشارة سالبة.
  4. عُدّ تغيّرات الإشارة في العمود الأول = عدد الأقطاب في النصف الأيمن.
    صفر تغيّرات ⇒ مستقر.
حالتان خاصتان:
  • صفر في العمود الأول فقط ← ضع مكانه ε صغيراً موجباً وأكمل، ثم خذ النهاية.
  • صف كامل من الأصفار ← يعني وجود جذور متناظرة (غالباً على محور jω). كوّن المعادلة المساعدة من الصف الذي فوقه، اشتقّها بالنسبة لـ s، وضع معاملات المشتقة مكان صف الأصفار. النتيجة عندئذ: الأفضل حالاً marginally stable وليس stable.

آلة راوث: اكتب معاملات المعادلة المميزة

من الأعلى إلى الأدنى، مفصولة بمسافة. مثال s⁴+8s³+18s²+16s+5 يُكتب: 1 8 18 16 5

إيجاد مدى K للاستقرار

هذا نمط سؤال ثابت. الخطوات: كوّن المعادلة المميزة وفيها K، ابنِ جدول راوث، ثم اشترط أن يكون كل عنصر في العمود الأول موجباً وحُلّ المتباينات.

09أوامر ماتلاب المطلوبة

الأمرماذا يفعل
tf(num,den)يبني دالة تحويل من معاملات البسط والمقام
tf(num,den,'inputdelay',T)يضيف تأخيراً زمنياً T على الدخل → يظهر كـ exp(−T*s) في الخرج
tf2zp(num,den)من دالة التحويل إلى الأصفار والأقطاب [z,p,k]
zp2tf(z,p,k)العكس: من أصفار وأقطاب إلى دالة تحويل
series(G1,G2)وصل متسلسل (ضرب)
parallel(G1,G2)وصل متوازٍ (جمع)
feedback(G1,G2)حلقة تغذية راجعة → G1/(1+G1·G2)
step(num,den) / impulse / lsimرسم استجابة الدرجة / النبضة / أي دخل
ord2(wn,zeta)يبني مقام نظام رتبة ثانية قياسي
تذكّر إشارة الأمر: 'inputdelay',2 تعني الأس exp(−2*s) — سالب، لأن التأخير يعني e^(−sT). أي خيار فيه exp(+2*s) خطأ.

★حل الامتحان — 2025/9/18

اقرأ السؤال، أجب في ورقة، ثم اضغط للكشف. هكذا تستفيد ضعف الفائدة.

1In ____ control systems the control action is dependent on the desired output.
(b) Closed loop

«يعتمد على الخرج» = يوجد خط تغذية راجعة يقيس الخرج ويقارنه بالمطلوب. المفتوح لا يقيس شيئاً.

2The Transfer function is the ratio of: (a) L[O/P] to L[I/P]   (b) L[I/P] to L[O/P]
(a) L[Output] to L[Input]

التعريف حرفياً: لابلاس الخرج ÷ لابلاس الدخل، بشروط ابتدائية صفرية.

3Three blocks with gains 2, −5 and 10 are connected in parallel. The total gain is ___
(d) 7

متوازي = جمع (المتسلسل هو الضرب). إذن 2 + (−5) + 10 = 7.

الخيار −100 هو فخّ الضرب: 2 × −5 × 10 = −100. لا تقع فيه.

4المخطط: r → ⊗ → C(s) → يتفرّع إلى P₁ و P₂، خرجاهما يُجمعان في دائرة (P₁ موجب، P₂ سالب)، والخرج y. أوجد G(s)=Y/R حيث C(s)=2.
(a) 4/(s+1)

الخرج y مأخوذ من فرع P₁، أما الذي يعود إلى نقطة الجمع الأولى فهو خرج الدائرة أي (P₁ − P₂)u. إذن:

u = C·(r − (P₁−P₂)u) → u = C·r / [1 + C(P₁−P₂)] y = P₁·u ⇒ T = C·P₁ / [1 + C(P₁ − P₂)]

بتعويض P₁ = 2/(s−1)، P₂ = 1/(s−1)، C = 2:

البسط = 2 · 2/(s−1) = 4/(s−1) المقام = 1 + 2·[1/(s−1)] = (s+1)/(s−1) T = [4/(s−1)] · [(s−1)/(s+1)] = 4/(s+1) ✓
حيلة الامتحان: لو قرأت المقامات (s+1) لخرج الجواب 4/(s+3) وهو غير موجود في الخيارات — وهذا نفسه دليل على أن القراءة الصحيحة هي (s−1). استعمل الخيارات كأداة تحقّق دائماً.
5Derive T(s) for the cascaded controller: r → ⊗ → e₁ → ⊗ → e₂ → A(s) → B(s) → y، مع حلقة داخلية من بعد A(s) إلى نقطة الجمع الثانية (سالبة)، وحلقة خارجية من y إلى الأولى (سالبة).
(a) A·B / (1 + A + A·B)

حُلّ من الداخل إلى الخارج — هذه القاعدة الذهبية للحلقات المتداخلة:

الحلقة الداخلية (A مع تغذية وحدية): A/(1+A) ثم متسلسل مع B: A·B/(1+A) الحلقة الخارجية (تغذية وحدية): T = [A·B/(1+A)] / [1 + A·B/(1+A)] = A·B / (1 + A + A·B) ✓

لاحظ: ضربنا البسط والمقام في (1+A) فاختفت الكسور المركّبة.

6Routh: s⁴ + 8s³ + 18s² + 16s + 5 = 0 — stable or unstable?
(a) The system is stable
s⁴ | 1 18 5 s³ | 8 16 0 s² | (8·18−1·16)/8 = 16 , (8·5−0)/8 = 5 s¹ | (16·16−8·5)/16 = 216/16 = 13.5 s⁰ | 5

العمود الأول: 1, 8, 16, 13.5, 5 — كلها موجبة، صفر تغيّرات إشارة ⇒ لا أقطاب في النصف الأيمن ⇒ مستقر.

7Routh: s⁶ + 2s⁵ + 8s⁴ + 12s³ + 20s² + 16s + 16 = 0 — stable or unstable?
(b) The system is Unstable

هذا سؤال «الحالة الخاصة» — صف كامل من الأصفار:

s⁶ | 1 8 20 16 s⁵ | 2 12 16 0 s⁴ | 2 12 16 s³ | 0 0 0 ← صف أصفار!

نكوّن المعادلة المساعدة من صف s⁴:

A(s) = 2s⁴ + 12s² + 16 = 2(s²+2)(s²+4) dA/ds = 8s³ + 24s → نضع 8 , 24 مكان صف الأصفار

الجذور المستخرجة: s = ±j√2 و s = ±j2 — أقطاب على محور jω. باقي التحليل: P(s) = (s⁴+6s²+8)(s²+2s+2)، والعامل الثاني جذوره −1±j مستقرة.

إذن النظام marginally stable: يتذبذب إلى الأبد ولا يستقر. وبما أن الخيارات ثنائية فقط، فالجواب ليس stable ⇒ (b).

القاعدة: وجود صف أصفار = أقطاب على المحور التخيّلي = ليس مستقراً في اصطلاح الامتحانات.
8G(s) = K(s+20)/[s(s+2)(s+3)] بتغذية وحدية. أوجد مدى K للاستقرار.
(b) 0 < K < 2

الخطوة 1 — المعادلة المميزة 1 + G(s) = 0 أي البسط + المقام = 0:

s(s+2)(s+3) + K(s+20) = 0 s³ + 5s² + 6s + Ks + 20K = 0 s³ + 5s² + (6+K)s + 20K = 0

الخطوة 2 — جدول راوث:

s³ | 1 6+K s² | 5 20K s¹ | [5(6+K) − 20K]/5 = (30 − 15K)/5 = 6 − 3K s⁰ | 20K

الخطوة 3 — اشترط أن العمود الأول كله موجب:

20K > 0 → K > 0 6 − 3K > 0 → K < 2 ⇒ 0 < K < 2 ✓
9G(s) = 200(s+5)(s+50) / [s⁴(s+10)(s²+3s+10)]. Find the order of the system.
(c) 7

الرتبة = درجة المقام فقط (البسط لا شأن له):

s⁴ → 4 + (s+10) → 1 + (s²+3s+10) → 2 = 7

لا تفتح الأقواس، فقط اجمع الدرجات.

10y″(t) + 3y′(t) + 4y(t) = u′(t) + 3u(t). أوجد Y(s)/U(s)، وهل النظام مستقر؟
(c) (s+3)/(s² + 3s + 4) — والنظام مستقر

كل مشتقة تصبح ضرباً في s (الشروط الابتدائية صفر):

(s² + 3s + 4)·Y(s) = (s + 3)·U(s) Y(s)/U(s) = (s+3)/(s² + 3s + 4)

الاستقرار من الأقطاب: s = [−3 ± √(9−16)]/2 = −1.5 ± j1.32 — الجزء الحقيقي سالب ⇒ النصف الأيسر ⇒ مستقر (وهو under-damped لأن الجذور مركّبة).

تحقّق سريع: لمعادلة من الرتبة الثانية s²+bs+c، يكفي أن يكون b>0 وc>0 ليكون مستقراً.
11num=[2 1]; den=[1 3 2]; H=tf(num,den,'inputdelay',2) — ما الخرج؟
(a) exp(−2*s) * (2s+1)/(s²+3s+2)

المتّجهات تُقرأ من أعلى قوة إلى أدناها: [2 1] → 2s+1 و [1 3 2] → s²+3s+2.

وinputdelay = 2 تعني تأخيراً زمنياً مقداره 2 ثانية، ولابلاس التأخير هو e^(−2s) — بأس سالب. الخيار (b) فيه exp(+2*s) وهو مستحيل فيزيائياً (يعني نظاماً يستبق الزمن).

12[z,p,k] = tf2zp(num,den) converts:
(a) from transfer function to zero-pole

اقرأ الاسم نفسه: tf → 2 (to) → zp. والعكس zp2tf. والخرج z أصفار، p أقطاب، k المكسب.

13sys = feedback(G1,G2) — أيّ المخططات (a) متسلسل، (b) متوازٍ، (c) حلقة تغذية راجعة؟
(c) مخطط الحلقة المغلقة

الشكل (c) هو الذي فيه G₁ في مسار الذهاب وG₂ في مسار الرجوع مع نقطة جمع فيها (+/−). النتيجة G₁/(1+G₁G₂).

و(a) متسلسل ← series ← G₁G₂  |  (b) متوازٍ ← parallel ← G₁+G₂.

14d²y/dt² + 5 dy/dt + 6y = 2 du/dt + 1 — أوجد أقطاب وأصفار النظام.
(b) s = −3 , s = −2

المقام هو ما يعطي الأقطاب:

s² + 5s + 6 = 0 (s + 2)(s + 3) = 0 poles: s = −2 , s = −3
الفخ: الخياران s=3, s=2 ينسيان الإشارة. تحليل s²+5s+6 يعطي (s+2)(s+3)، والجذر يكون سالباً. وهذا منطقي: أقطاب سالبة = نظام مستقر.

أما الصفر فمن البسط (2s+1) ⇒ s = −0.5.

15مستوى s فيه: ✕ عند 0، −4، −10  و  ○ عند −8، −14. أوجد دالة التحويل.
(b) G(s) = (s+8)(s+14) / [s(s+4)(s+10)]

احفظ الرمزين ولن تخطئ أبداً:

  • ✕ (X) = pole = قطب = في المقام
  • ○ (O) = zero = صفر = في البسط

وقطب عند s = −4 يعني عاملاً (s + 4) — الإشارة تنقلب. وقطب عند الأصل يعطي s وحده.

أقطاب: 0, −4, −10 → المقام = s(s+4)(s+10) أصفار: −8, −14 → البسط = (s+8)(s+14)
16في منحنى استجابة الـstep، ما هي i و ii و iii بالترتيب؟
(d) overshoot, rise time and settling time

اقرأ الرسم بالإحداثيات لا بالحدس:

  • i — سهم رأسي عند أعلى قمة فوق الخط 1.00 ⇒ overshoot. (كل ما هو رأسي عند القمة = تجاوز.)
  • ii — سهم أفقي قصير بين الخطين 0.10 و 0.90 ⇒ rise time (زمن الصعود من 10% إلى 90%).
  • iii — السهم الأفقي الأطول الممتد حتى دخول المنحنى شريط 0.95–1.05 والبقاء فيه ⇒ settling time.

وعلامة t_d المكتوبة صراحةً عند الخط 0.50 هي delay time — وضعوها لتشوّش عليك، تجاهلها.

＋الورقة الثانية: النمذجة والمحاكاة

هذه أسئلة مادة أخرى (محاكاة أنظمة الاتصالات). أجوبتها مباشرة، والمبدأ الحاكم مذكور مع كل واحد.

#الإجابةلماذا
7(c) Communications Toolboxهي المتخصصة في أنظمة الاتصالات. Control System Toolbox للتحكم، Simscape للأنظمة الفيزيائية.
8(b) نسبة البتات المستقبَلة خطأً إلى إجمالي المرسَلBit Error Rate — الاسم نفسه يقول «خطأ».
9(b) Randomness and uncertaintyالقناة اللاسلكية المتغيرة مع الزمن عشوائية بطبيعتها ⇒ نموذج احتمالي (stochastic).
10(a) تجنّب كلفة بناء نماذج فيزيائية قد تفشلالهدف من المحاكاة قبل التصنيع هو توفير المال والزمن.
11(a) Dynamic, time-dependentثابت الزمن RC يعني أن الخرج يعتمد على الزمن ⇒ ديناميكي لا ساكن.
12(c) Validationالقاعدة: Verification = هل بنيت النموذج صحيحاً؟  Validation = هل بنيت النموذج الصحيح (يطابق الواقع المقاس)؟
13(b) حساب BER النظري لتشكيلات مختلفة عبر قناة AWGNاسم الأمر نفسه: ber + awgn.
14(c) A Physical modelالانتشار في الفضاء الحر مشتق من قوانين الفيزياء لا من قياسات ميدانية (الأخير هو Empirical).
15(c) PDEsمعادلات التلغراف فيها تفاضل بالنسبة للزمن و المسافة معاً ⇒ جزئية.
16(b) صعوبة نمذجة كل التشوهات والتفاعلات الواقعية بدقةباقي الخيارات مبالغات خاطئة.
17(b) توليد متتالية عشوائية من N بتrandi([0 1],1,N) = أعداد صحيحة عشوائية بين 0 و1، صف واحد، N عمود.
18(c) نموذج يلتقط دالة التحويل غير الخطيةالسؤال يقول non-linear amplifier ⇒ الجواب لا يمكن أن يكون linear أو static.

؟بطاقة القوانين — آخر خمس دقائق

تغذية سالبة: T = G / (1 + GH) وحدية: T = G/(1+G) متسلسل: G₁G₂ متوازٍ: G₁ + G₂ الرتبة الأولى: 1/(sT+1) step: 1 − e^(−t/T) عند t=T → 63.2% الرتبة الثانية: ωₙ² / (s² + 2ζωₙs + ωₙ²) σ = ζωₙ ω_d = ωₙ√(1−ζ²) θ = cos⁻¹(ζ) ζ=0 دائم | 0<ζ<1 تذبذب | ζ=1 حرج | ζ>1 بطيء t_d = (1+0.7ζ)/ωₙ t_r = (π−θ)/ω_d t_p = π/ω_d %OS = e^(−ζπ/√(1−ζ²))×100 t_s = 4/σ (2%) t_s = 3/σ (5%) قطب −σ ± jω_d : ωₙ = √(σ²+ω_d²) ζ = σ/ωₙ = cos θ الاستقرار: كل الأقطاب في النصف الأيسر راوث: عدد تغيّرات إشارة العمود الأول = عدد أقطاب النصف الأيمن مدى K: اجعل كل العمود الأول موجباً وحُلّ المتباينات الرتبة = درجة المقام
خطة الدقيقة الواحدة لأي سؤال:
  1. هل السؤال عن مخطط؟ ← بسّط من الداخل للخارج بـ G/(1+GH).
  2. هل عن استقرار؟ ← اكتب المعادلة المميزة وابنِ راوث.
  3. هل عن زمن (t_r, t_p, M_p, t_s)؟ ← استخرج ζ وωₙ أولاً من المقام، ثم عوّض.
  4. هل عن أقطاب وأصفار؟ ← المقام = أقطاب (✕)، البسط = أصفار (○)، والإشارة تنقلب.